自然科学的发展表明, 古典的函数概念是不够的, 或是不完全适合的。于是, 广义函数 论随之兴起。广义函数包括通常的函数在内, 甚至更广。它应是无限次可导和自由地进 行极限交换这一节我们介绍广义函数的大意。

首先介绍工程技术中常用的 δ \delta δ 函数。设想在无限长的细棒上有一质量分布, 只集中在一 点 x = 0 x=0 x=0 处, 总质量为 1 个单位。这意思是说, 有一假象的密度函数 δ ( x ) \delta(x) δ(x), 当 x ≠ 0 x \neq 0 x=0 时, 在 x = 0 x=0 x=0, 密度为无限大, 而密度函数的积分为总质量 1 : ∫ − ∞ + ∞ δ ( x ) d x = 1 1: \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) d x=1 1:∫−∞+∞​δ(x)dx=1. 这种假象的函数, 已超出了通常 函数概念的框架。试想, 一个仅在一点不为零的函数, 是几乎处处为零的, 其积分应当是 0 , 怎么可能是 1 呢? 这类 δ ( x ) \delta(x) δ(x) 在工程里常常遇到, 例如无线电工程中考察脉冲, 在极短的一个 时间内爆发出一个能量的信号, 合上述质量的类型相似。

从 δ ( x ) \delta(x) δ(x) 的性质, 还可以形式地认为, 对一切连续函数 φ ( x ) \varphi(x) φ(x) 应有 ∫ − ∞ + ∞ δ ( x ) φ ( x ) d x = φ ( 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \varphi(x) d x=\varphi(0) ∫−∞+∞​δ(x)φ(x)dx=φ(0), 这 可由下式看出: ∣ ∫ − ∞ + ∞ ( φ ( x ) − φ ( 0 ) ) δ ( x ) d x ∣ = ∣ ∫ − ε + ε ( φ ( x ) − φ ( 0 ) ) δ ( x ) d x ∣ ≤ max ⁡ ∣ x ∣ ε ∣ φ ( x ) − φ ( 0 ) ∣ ∫ − ε + ε δ ( x ) d x = max ⁡ ∣ x ∣ ε ∣ φ ( x ) − φ ( 0 ) ∣ → 0 ( ε → 0 ) . \begin{array}{r} \left|\int_{-\infty}^{+\infty}(\varphi(x)-\varphi(0)) \delta(x) d x\right|=\left|\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}(\varphi(x)-\varphi(0)) \delta(x) d x\right| \\ \leq \max _{|x| \varepsilon}|\varphi(x)-\varphi(0)| \int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} \delta(x) d x=\max _{|x| \varepsilon}|\varphi(x)-\varphi(0)| \rightarrow 0(\varepsilon \rightarrow 0) . \end{array} ∣ ∣​∫−∞+∞​(φ(x)−φ(0))δ(x)dx∣ ∣​=∣ ∣​∫−ε+ε​(φ(x)−φ(0))δ(x)dx∣ ∣​≤max∣x∣ε​∣φ(x)−φ(0)∣∫−ε+ε​δ(x)dx=max∣x∣ε​∣φ(x)−φ(0)∣→0(ε→0).​ 请读者注意, 因为 δ ( x ) \delta(x) δ(x) 是假想函数, ∫ − ∞ + ∞ δ ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) d x ∫−∞+∞​δ(x)dx 的意义上尚不清楚, 上面的推论只是形式上的说明和假想的推论, 不能算作定义。我们下面的任务是要给广义函数 (包括这种 δ ( x ) \delta(x) δ(x) 给于一 种严格的数学定义。它的基本数学思想是: 由 ∫ − ∞ + ∞ δ ( x ) φ ( x ) d x = φ ( 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \varphi(x) d x=\varphi(0) ∫−∞+∞​δ(x)φ(x)dx=φ(0), 可以认为 δ ( x ) \delta(x) δ(x) 是连续函数 空间上的连续线性泛函。这启发我们, 如果把连续函数空间进一步缩小, 收敛性进一步加强, 那么这个连续空间上的线性泛函一定更多, 我们不妨把它们称为广义函数。

定义1（基本空间） 设G是 − ∞ < x < ∞ -\infty